Ao se preparar para o Exame do Estado Unificado de MatemáticaÉ necessário sistematizar o conhecimento em álgebra e geometria. Eu quero combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área da pirâmide. E a partir da base e faces laterais para a área de toda a superfície. Se a situação com as faces laterais estiver clara, uma vez que são triângulos, o fundo é sempre diferente.
Pode ser qualquer tipo de figura: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser a figura certa ou errada. Nas tarefas da escola de interesse para as crianças em idade escolar, apenas trabalhos com os números corretos na base são encontrados. Portanto, apenas falaremos sobre eles.
O triângulo retângulo
Isso é equilateral. Aquele com todos os lados igual e marcado com a letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:
S = (a2 * √3) / 4.
Quadrado
A fórmula para calcular sua área é a mais simples, aqui "a" é novamente o lado:
S = a2.
Um n-gon regular arbitrário
O lado do polígono tem a mesma notação. Para o número de ângulos, use a letra latina n.
S = (n * a2) / (4 * tg (180º / n)).
Desde o fundo é a figura certa,todas as faces da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, uma vez que as bordas laterais são iguais. Então, para calcular a área lateral da pirâmide, precisamos de uma fórmula que consiste em uma soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.
A área de um triângulo isósceles é calculadapela fórmula em que metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apophema. Sua designação é "A". A fórmula geral para a área da superfície lateral é a seguinte:
S = ½ P * A, onde P é o perímetro da base da pirâmide.
Existem situações em que as partes não são conhecidasbases, mas dadas bordas laterais (c) e um ângulo plano em seu ápice (α). Então é suposto usar tal fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:
S = n / 2 * em2 sin α.
Condição. Encontre a área total da pirâmide se ela tiver um triângulo equilátero com um lado de 4 cm, e o apophema tiver um valor de ± 3 cm.
A solução. Começa com o cálculo do perímetro da base. Como esse é um triângulo regular, então P = 3 * 4 = 12 cm Como o apophema é conhecido, podemos calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm2.
Para um triângulo na parte inferior, obtemos o seguinte valor de área: (42* √3) / 4 = 4√3 cm2.
Para determinar a área total, você precisará adicionar dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.
Resposta 10 a 3 cm2.
Condição. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. É necessário conhecer a área de sua superfície.
A solução. Como o poliedro é quadrilateral ecorreto, então na sua base é um quadrado. Tendo aprendido a área da base e faces laterais, será possível contar a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais são conhecidos todos os lados do triângulo. Portanto, você pode usar a fórmula do Geron para calcular suas áreas.
Os primeiros cálculos são simples e levam a esse número: 49 mm2. Para o segundo valor, precisamos calcular o semiperímetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora podemos calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)2) = √ 2985,9375 = 54,644 mm2. Existem apenas quatro desses triângulos, por isso, ao calcular o número final, você precisa multiplicá-lo por 4.
Acontece que: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.
Responder. O valor procurado é 267,576 mm2.
Condição. Uma pirâmide quadrangular regular precisa calcular a área. Conheça o lado do quadrado - 6 cm e a altura - 4 cm.
A solução. A maneira mais simples é usar a fórmula com o produto do perímetro e do apophema. O primeiro valor é fácil de encontrar. O segundo é um pouco mais complicado.
É necessário recordar o teorema de Pitágoras e considerartriângulo retângulo É formado pela altura da pirâmide e a apophema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual a metade do lado do quadrado, uma vez que a altura do poliedro cai para o meio.
A apophema desejada (hipotenusa de um triângulo retângulo) é √ (32 + 42) = 5 (cm).
Agora podemos calcular a quantidade necessária: ½ * (4 * 6) * 5 + 62 = 96 (cm2).
Resposta 96 centímetros2.
Condição. Dada uma pirâmide hexagonal regular. Os lados da sua base são 22 mm, as nervuras laterais são 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?
A solução. Os argumentos nele são os mesmos descritos no Problema 2. Só lá foi dada uma pirâmide com um quadrado na parte inferior, e agora é um hexágono.
O primeiro passo é calcular a área da base de acordo com a fórmula acima: (6 * 222) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm2.
Agora você precisa conhecer o semiperímetroum triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ela permanece de acordo com a fórmula de Heron para calcular a área de cada um desses triângulos, e depois multiplicá-la por seis e adicioná-la àquela que resultou na base.
Cálculos usando a fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61)2) = 35435600 = 660 cm2. Cálculos que dão a área da superfície lateral: 660 * 6 = 3960 cm2. Resta adicioná-los para descobrir toda a superfície: 5217.47≈5217 cm2.
Resposta Terreno - 726√3 cm2superfície lateral - 3960 cm2, toda a área - 5217 cm2.
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